Как заносить под дифференциал
Перейти к содержимому

Как заносить под дифференциал

  • автор:

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала — что это такое?

Подведение под знак дифференциала решает возникающую при интегрировании проблему, заключающуюся в том, что в подынтегральном выражении находится сложная функция, например, , , и т. п., а под знаком дифференциала d — просто икс. То есть нет возможности сразу применить таблицу интегралов для нахождения такого интеграла.

Цель подведения под знак дифференциала — получить простую функцию, которую можно интегрировать непосредственно, то есть по таблице интегралов. Тогда путём преобразований подынтегрального выражения получим простую функцию переменной и эта переменная будет находится и под знаком дифференциала d.

Решение заключается в том, что аргументом подынтегральной функции становится промежуточный аргумент («внутренняя» функция исходной сложной функции, например, , , и т. п.), который можно обозначить буквой u, и тот же промежуточный аргумент u подводится под знак дифференциала d.

После того, как такой интеграл будет найден, на место буквы u возвращается обозначаемый ею промежуточный аргумент, и таким образом будет окончательно найден интеграл исходной сложной функции.

Формальная общая запись описанных преобразований выглядит так:

где — «внешняя» функция, а — «внутренняя» функция или промежуточный аргумент.

В примерах вместо буквы u будем использовать букву t: так наши решения будут близки к наглядно понятному методу замены переменной. Кстати, в некоторых источниках метод подведения под знак дифференциала считается частным случаем метода замены переменной.

Повторим: наиболее частый случай, когда выгодно применять подведение под знак дифференциала — подынтегральное выражение представляет собой сложную функцию. Но это не единственный случай, когда требуется применять этот метод интегрирования. Другой распространённый случай — когда нет смысла использовать замену переменной, так как это делает вычисления громоздкими. Тогда, чтобы вычисления были короче, можно использовать подведение под знак дифференциала.

Пример 1. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Это почти то же самое, что найти её производную. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Сразу же видим, что дифференциал синуса от икса равен косинусу от икса, а это как раз то, что нам нужно. Внесём под знак дифференциала синус от икса. Получаем

Полученное переносим в подынтегральное выражение:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 3. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-двойки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Применить подведение под знак дифференциала самостоятельно, а затем посмотреть решение

Следующие задачи — общий случай: решаются по определению дифференциала функции:

Пример 4. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Пример 5. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Продолжаем решать задачи вместе

В следующих задачах используются правила дифференцирования и интегрирования констант:

Так как , то , иными словами, константу можно подвести под знак дифференциала.

Пример 6. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Так как , где C — произвольная константа, то .

Пример 7. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Пример 8. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — минус икс в квадрате. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус двух перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 11:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 9. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — логарифм икса. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 12:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 10. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — ту, что в знаменателе. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус трёх перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Пример 11. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Замечаем, что замена переменной в знаменателе выгодно оборачивается получением табличного интеграла 21 (с арктангенсом). Но в знаменателе у нас икс не в квадрате, а в шестой степени. Представляем икс в шестой степени как , а интеграл преобразуется к . Именно икс в кубе из второго слагаемого в знаменателе представляет собой внутреннюю функцию, которую внесём под знак дифференциала. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 21:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 12. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Смотрим в числитель. Там косинус от трёх икс. Смотрим в знаменатель. Там присутствует синус также от трёх икс. Значит, всё выражение в знаменателе можем как внутреннюю функцию внести под знак дифференциала. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-минус девяти перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/9 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала). Вторая часть.

Продолжим решение задач на интегрирование подстановкой, начатое в первой части. Формулы, которые использовались в первой части, будут использоваться и тут:

\[ \begin dy=y’dx \end \]
\[ \begin dx=d(x+C) \end \]
\[ \begin dx=\frac\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0) \end \]

Задача №5

Условие
Решение

Такой формулы в таблице интегралов точно нет. Придётся подогнать данный интеграл под одну из табличных формул. Для этого имеет смысл вспомнить таблицу производных. В частности, равенство \((\ln x)’=\frac\). Применим формулу №1, подставив в неё \(y=\ln x\) :

\[ d(\ln x)=(\ln x)’ dx=\frac<1>dx=\frac. \]

Так как \(\frac=d(\ln x)\), то можно заменить в интеграле \(\int \frac\) выражение \(\frac\) на \(d(\ln x)\) :

\[ \int \frac=\int \frac <(4\ln x+7)^3>\]

Зачем мы вносили под дифференциал \(\ln x\) ? Что нам дала такая операция? Она дала нам следующее: выражение вод дифференциалом, т.е. \(\ln x\), стало ближе по форме к выражению в скобках знаменателя, т.е. \(4\ln x + 7\). Сделаем так, чтобы выражение под дифференциалом не отличалось от того, что стоит в скобках. Чего для этого не хватает? Во-первых, не хватает множителя \(4\), а во-вторых, слагаемого \(7\). Исправим это «упущение», домножив выражение под дифференциалом на \(4\). Согласно формуле №3 получим:

\[ d(\ln x)=\frac<1>\cdot d(4\ln x). \]

Чтобы прибавить \(7\) под дифференциалом, применим формулу №2:

\[ \frac<1>\cdot d(4\ln x)=\frac<1>\cdot d(4\ln x+7). \]

Итак, \(d(\ln x)=\frac\cdot d(4\ln x+7)\). Подставим в интеграл \(\int \frac<(4\ln x+7)^3>\) выражение \(\frac\cdot d(4\ln x+7)\) вместо \(d(\ln x)\). Константу \(\frac\) вынесем за знак интеграла:

\[ \int \frac<(4\ln x+7)^3>=\int \frac\cdot d(4\ln x+7)><(4\ln x+7)^3>=\frac\cdot \int \frac <(4\ln x+7)^3>\]

Дальнейшее решение уже несложно. Осуществив подстановку \(u=4 \ln x+7\), мы получим табличный интеграл \(\int \frac\). Так как \(\frac=u^\), то для нахождения полученного интеграла применима формула №1 из таблицы интегралов:

Если пропустить все пояснения и промежуточные действия, то решение будет выглядеть так:

Проверка пройдена успешно, производная результата равна подынтегральной функции.

Полагаю, здесь может возникнуть вопрос, поэтому попробую предугадать его. Как мы догадались, что под дифференциал нужно вносить именно \(\ln x\) ? Почему не пошли каким-то иным путём или не стали вносить иную функцию?

Ответ тут прост, но неутешителен. Дело в том, что такая догадка возникла исходя из оценки вида самого интеграла. Т.е., говоря иными словами, после того, как у вас появится некоторый опыт (хотя бы 20-30 самостоятельно решенных интегралов), вы тоже сможете заметить нужную подстановку. Для компьютера есть алгоритм Риша, а для человека есть только один способ – нарешать как можно больше примеров, чтобы начать «видеть» подобные подстановки.

Задача №6

Условие
Решение

Подгоним данный интеграл под одну из табличных формул. Внесём \(e^>\) под дифференциал. Для этого воспользуемся формулой №1, подставив в неё \(y=e^>\) :

Умножив на \(2\) обе части полученного равенства \(d \left( e^> \right)=\fracdx>\), будем иметь: \(2\cdot d \left( e^> \right)=e^>dx\). Так как \(e^>dx=2\cdot d \left( e^> \right)\), то в интеграл \(\int \fracdx>\) вместо \(e^>dx\) можно подставить \(2\cdot d \left( e^> \right)\) :

\[ \int \frac>dx>=\int \frac> \right)>=2\cdot\int \frac< d \left( e^> \right)> \] \right)>=2\cdot\int \frac< d \left( e^> \right)><\left( e^> \right)^2+49> \]Полагаю, что теперь ясно, зачем мы вносили под дифференциал выражение \(e^>\). Теперь сделаем подстановку \(u=e^>\) и получим табличный интеграл №11:

Проверка, при необходимости, делается так же, как и в предыдущей задаче. Если пропустить все пояснения, решение примет вид:

Задача №7

Условие
Решение

Внесем под дифференциал выражение \(9x^2+5\). В предыдущих задачах такое внесение осуществлялось постепенно, здесь попробуем внести всё выражение сразу. Для начала найдём \(d(9x^2+5)\) (используем формулу №1):

\[ d(9x^2+5)=(9x^2+5)’dx=18xdx \]

Так как \(d(9x^2+5)=18xdx\), то \(xdx=\frac\cdot d(9x^2+5)\). Подставляя в \(\int x\sqrt[4]\;dx\) выражение \(\frac\cdot d(9x^2+5)\) вместо \(xdx\), получим:

\[ \int x\sqrt[4]\;dx=\int \sqrt[4]\cdot\fracd(9x^2+5)=\frac\cdot\int \sqrt[4]d(9x^2+5) \]

Дальнейшее решение аналогично предыдущим задачам. Делая подстановку \(u=9x^2+5\) и применяя формулу №1 из таблицы интегралов, будем иметь:

Задача №8

Условие
Решение

Внесем под дифференциал выражение \(3+5\ctg x\). В предыдущих задачах такое внесение осуществлялось постепенно, здесь попробуем внести всё выражение сразу. Для начала найдём \(d(3+5\ctg x)\) (используем формулу №1):

\[ d(3+5\ctg x)=(3+5\ctg x)’dx=-\frac<5>dx \]

Так как \(d(3+5\ctg x)=-\fracdx\), то \(\frac=-\frac\cdot d(3+5\ctg x)\). Подставляя в \(\int \frac>dx\) выражение \(-\frac\cdot d(3+5ctg x)\) вместо \(\frac\) и осуществляя замену \(u=3+5\ctg x\), будем иметь:

Задача №9

Условие
Решение

Для интегралов от тригонометрических функций есть специальные методы, но иногда можно обойтись и без них. Например, в данной задаче проще разложить заданный интеграл на сумму интегралов. Чтобы это осуществить, вспомним формулу \(\sin^2x=1-\cos^2x\) :

\[ \frac=\frac<\left(1-\cos^2x\right)^2>=\frac= \frac-\frac+\frac=\frac-2+\cos^2x. \]

Таким образом мы упростили подынтегральное выражение. Остальнось лишь учесть, что \(\cos^2x=\frac+\frac\cos 2x\) :

\[ \frac<1>-2+\cos^2x=\frac<1>-2+\frac<1>+\frac<1>\cos 2x=-\frac+\frac<1>+\frac<1>\cos 2x \]

Возвращаясь к заданному интегралу, получим:

И, наконец, решим задачу № 1779 из сборника задач Бермана. В этой задаче интеграл сначала нужно разбить на два, а затем уже применять внесение под знак дифференциала. Я бы советовал решить этот пример самостоятельно, лишь сверяясь с решением на сайте.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Примеры решений

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений, где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала;
– Собственно замена переменной.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически и – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

Строго говоря, решение должно выглядеть так:

Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

Также всем рекомендую использовать математический знак вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче.

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут находиться и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Примечание: т. к. при любом «икс», то под логарифмом вместо модуля можно поставить круглые скобки.

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

Следует отметить, что для дробей вроде, такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены). Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.

Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения из той же оперы:

Найти неопределенный интеграл.

Найти неопределенный интеграл.

Решения в конце урока.

Найти неопределенный интеграл.

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: . У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило:
За обозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения .

В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.

Или короче:
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

Вот здесь подвести функцию под знак дифференциала уже не так-то просто.

Найти неопределенный интеграл.

Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.

Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Примеры решений.

Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями. Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке.

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:

Пример 4: Решение:

Пример 7: Решение:

Пример 9: Решение:

Пример 11: Решение:

Проведем замену:

Пример 12: Решение:

Проведем замену:

Пример 14: Решение:

Проведем замену:

Я выполнил проверку, а Вы? 😉

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

2. Интегрирование внесением под дифференциал

Табличные формулы справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной x , но и для любого сложного выражения, ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .

Очень часто метод внесения под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида

константа при x , F – первообразная функции f . Поэтому имеют место следующие формулы для неопределенных интегралов:

Найти интеграл Внесем косинус под знак дифференциала

Найти неопределенный интеграл Разложим тангенс, как отношение синуса и косинуса , затем внесем синус под знак дифференциала

Вычислить неопределенный интеграл Внесем под знак интеграла так, чтобы полученный многочлен под знаком интеграла совпадал со знаменателем

В результате, получили табличный интеграл , который в свою очередь равен

Вычислить неопределенный интеграл

Так как , то числитель можно внести под знак интеграла так, чтобы под дифференциалом образовался многочлен точно такой же, что и в знаменателе:

Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

Тогда искомый интеграл равен

Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу производной экспоненциальной функции внесем под знак дифференциала

тогда в результате получим

Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу производной косинуса внесем под знак дифференциала, а косинус поднимем в числитель:

Вычислить неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию, используя равенство , в результате получим:

Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу квадрата разности выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат

Внесем под знак дифференциала :

Далее, используя табличный интеграл

Вычислить неопределенный интеграл

Так как , то выражение перед косинусом можно внести под знак дифференциала

тогда будем иметь:

Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу производной косинуса внесем под знак дифференциала

Далее, используя табличный интеграл для показательной функции, получим

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *